Medindo Ângulos Planos – o radiano

Número π (3,14159…): relação entre o comprimento da circunferência e o comprimento do seu diâmetro | autor: John Reid

O sistema sexagesimal (baseado no número 60) é nosso velho conhecido, e o grau (símbolo °), minuto (símbolo ‘) e segundo (símbolo “) são utilizados em geometria para medir ângulos planos há milênios. Aliás, até hoje medimos o tempo por esse sistema, e muita gente acaba confundindo o minuto e o segundo de medir ângulo plano, com o minuto (min) e o segundo (s) de medir tempo. O grau é definido como o ângulo plano igual à fração 1/360 do ângulo central de um círculo completo. O minuto é 1/60 de grau, e o segundo é 1/60 do minuto.

Apesar disso, o grau não é a unidade escolhida pelo SI – Sistema Internacional de Unidades para medir ângulo plano. Graus, minutos e segundos são unidades apenas admitidas “em uso com o SI”.

A unidade SI para medir ângulo plano é o radiano. O conceito de radiano costuma ser creditado a Roger Cotes, que o descreveu em 1714, embora a ideia de medir ângulos pelo comprimento do arco já fosse conhecida desde o século XV.  O radiano (símbolo rad) é definido como o ângulo central que subtende um arco de círculo de comprimento igual ao do respectivo raio.

Em azul, o arco A tem o mesmo comprimento do raio r. O ângulo formado por esses raios e pelo arco tem 1 rad (um radiano). Em vermelho, o ângulo de 1° e sua equivalência em radiano

O radiano é um número que expressa a relação entre o comprimento de um arco e o seu raio. Quando dividimos o comprimento da circunferência (arco completo) pelo seu diâmetro (como na animação acima) obtemos o número π (pi), que arredondamos aqui para 3,1416.

Desse modo, quando dividimos o comprimento da circunferência pelo seu raio, que é metade do diâmetro, obtemos 2 π radianos, ou 6,2832 radianos. Então, o ângulo de 360° (sexagesimal) equivale a 6,2832 rad, ou 2 π rad (dois pi radiano). Consequentemente o ângulo de 180° equivale a 3,1416 rad ou π rad; o ângulo de 90° equivale a π/2 rad e assim por diante, até chegarmos a π/180 rad (ou 0,01745 rad), que equivale a 1° (um grau).

Para conhecer o valor, em graus, de um ângulo A° de valor um radiano (1 rad), bastará fazer uma regra de três simples. Se 180° equivalem a π rad, então A° equivale a 1 rad.

180° / A° = π rad / 1 rad    |    A° X π rad = 180° X 1 rad

A° = 180° X 1 rad / π rad  |  A° = 180° / π   |   A° = 180° / 3,1416

A° = 57,30° ou 57° 18′

No dia a dia quase não usamos medidas de ângulo, e quando o fazemos usamos o grau. O radiano, entretanto, é fundamental para cálculo científico.

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