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A Sequência Fibonacci

11 de novembro de 2019

Leonardo de Pisa, um matemático também conhecido como Fibonacci,  publicou em 1202 o seu famoso Liber Abaci (O Livro do Cálculo). Esse livro ajudou a introduzir e a difundir na Europa, nada mais, nada menos, do que os algarismos indo-arábicos e a notação posicional (na qual o valor de cada algarismo depende da sua posição relativa na composição do número) e, ainda, o uso do zero.

Tudo isso Fibonacci  aprendeu com os árabes quando viveu no Norte de África. É interessante notar que os algarismos arábicos só se popularizaram na Europa em meados do século XV. Ou seja, até recentemente (menos de 600 anos) os europeus ainda faziam cálculos utilizando algarismos romanos. Dá para imaginar? Esse fato, por si só, já justifica que se faça um post sobre Fibonacci neste blog especializado em metrologia.

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A sequência Fibonacci é uma sucessão recursiva de números inteiros que começa por 0 e 1, e onde cada número subsequente é igual à soma dos dois números anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…). Ela foi utilizada na solução de um problema sobre reprodução de coelhos mencionada no Liber Abaci. Em vez de coelhos, preferimos representar o crescimento de uma árvore. Parece uma coisa singela, mas do ponto de vista matemático não é tão simples. Por exemplo, se construirmos quadrados com lados cujo tamanho respeite a sequência, o resultado será esse:

Assim como os números da sequência Fibonacci, a espiral desenhada a partir dos quadrados é recorrente na natureza, e pode ser identificada na disposição das pétalas de algumas flores, caracóis, nuvens de tempestade e até galáxias. Outro aspecto muito interessante da sequência Fibonacci é que, quando um número da sequência é dividido pelo número imediatamente anterior, a resultante se aproxima do número φ (pronuncia-se fi), a famosa constante algébrica conhecida como razão áurea, cujo valor arredondado é 1,618. Quanto maiores forem os números, mais o resultado se aproxima do número φ. No post sobre o Dia Mundial do Desenhista, que homenageia outro Leonardo genial, o Da Vinci, explicamos isso melhor. Confira.

Calibração versus Verificação – Parte 2

4 de novembro de 2019

Qual é a diferença entre verificação metrológica, calibração e ajuste?

Repetimos a pergunta feita na “Parte 1” (veja o post anterior) para reafirmar que, de fato, existe uma grande diferença entre essas operações. Este post tratará da verificação metrológica.

Verificação Metrológica

Consiste em submeter um instrumento ou medida materializada à inspeção e aos ensaios definidos na regulamentação legal pertinente, comparando os resultados com as exigências legais estabelecidas nessa regulamentação. Ao contrário da calibração, a verificação metrológica pertence ao universo da metrologia legal e, portanto, é de caráter obrigatório.

Verificação metrológica subsequente em bomba de combustível

Alguns tipos de Verificação Metrológica definidas pelo VIML – Vocabulário Internacional de Metrologia Legal

Verificação de um instrumento de medição: procedimento que compreende o exame, a marcação e/ou a emissão de um certificado de verificação e que constata e confirma que o instrumento de medição satisfaz as exigências regulamentares.

Verificação inicial: verificação de um instrumento de medição que não foi verificado anteriormente.

Verificação subsequente: qualquer verificação de um instrumento de medição posterior à verificação inicial, incluindo a verificação periódica e a verificação após reparos.

Verificação periódica: verificação subsequente de um instrumento de medição efetuada periodicamente em intervalos de tempo especificados e segundo procedimentos fixados por regulamentos.

Comentário

Todo instrumento utilizado em transação comercial, saúde e segurança deve, obrigatoriamente, ter seu modelo (protótipo e projeto de engenharia) aprovado pelo Inmetro, caso contrário não poderá ser comercializado no território nacional.

Na verificação inicial o instrumento é submetido à inspeção visual e aos ensaios de erros de medição previstos em regulamentação geral e específica (portaria de aprovação de modelo), ainda nas dependências do fabricante, e antes de ser comercializado. Caso o instrumento seja reprovado, deve retornar à linha de produção.

Na verificação subsequente (periódica e após reparo), o instrumento já em uso é submetido à inspeção visual que avalia suas condições gerais, a integridade das marcas de verificação e de selagem, e eventual modificação do instrumento em relação ao modelo aprovado. Em seguida são feitos os ensaios de erros de medição, que confrontam as indicações apresentadas pelo instrumento com os erros máximos permitidos pela legislação. Caso o instrumento seja reprovado é tomada a ação fiscal cabível (notificação, autuação) que pode implicar nas penalidades previstas em Lei, inclusive multa. Os instrumentos aprovados recebem a marca de verificação (selo do Inmetro) ou certificado.

Atenção: A palavra aferição” ainda vem sendo utilizada como sinônimo de calibração, e mesmo de verificação metrológica, embora tenha caído em desuso. O termo, que já vinha sendo esvaziado dos seus significados originais em favor de conceitos como “calibração” e “verificação”, deixou finalmente de constar da última versão do VIM (2012), e do VIML (2005). Por isso deve-se evitar o uso da palavra “aferição” como conceito metrológico.

Para acessar os conceitos citados aqui na sua íntegra, consulte o VIML – Vocabulário Internacional de Metrologia Legal

Calibração versus Verificação – Parte 1

28 de outubro de 2019

Qual é a diferença entre verificação metrológica, calibração e ajuste?

Para a maioria das pessoas esses conceitos são irrelevantes. Mas para quem trabalha com metrologia ou realiza algum tipo de medição formal, legal ou profissional (comércio, indústria, serviços, pesquisa, controle etc.) é muito importante conhece-los e não confundir uns com os outros.

Os termos “calibração e ajuste” podem ser encontrados no VIM – Vocabulário Internacional de Metrologia, enquanto a “verificação metrológica” encontra-se no VIML – Vocabulário Internacional de Metrologia Legal. Contudo, as definições apresentadas nesses documentos podem parecer um tanto herméticas para quem não é especialista. Por isso vamos comentá-las aqui no blog.

Por ser um pouco longo, o assunto foi dividido em duas partes. Este post é sobre calibração. A verificação metrológica será abordada no próximo post.

Calibração – definição dada pelo VIM

Operação que estabelece, sob condições especificadas, numa primeira etapa, uma relação entre os valores e as incertezas de medição fornecidos por padrões e as indicações correspondentes com as incertezas associadas; numa segunda etapa, utiliza esta informação para estabelecer uma relação visando a obtenção dum resultado de medição a partir duma Indicação.

calibração de peso padrão no laboratório de massa do Ipem-SP

Comentário

Simplificando, a calibração consiste em comparar um instrumento de medição, ou uma medida materializada (pesos, por exemplo), com padrões de referência. Para calibrar uma balança, por exemplo, usa-se padrões de massa adequados (pesos padrão). São feitos vários ensaios em cada ponto especificado do instrumento. As indicações que a balança apresentar e as incertezas associadas são anotadas no certificado de calibração.

Ou seja, a calibração apresenta um diagnóstico sobre o desempenho do instrumento e permite avaliar se este pode ser utilizado no processo pretendido. Pode-se, também, utilizar as informações do certificado de calibração para corrigir a indicação do instrumento durante uma medição. A calibração permite, também, avaliar se o instrumento ou medida materializada precisa passar por manutenção ou ajuste.

Ajuste

Atenção! Calibração não é ajuste. O ajuste consiste em interferir no instrumento ou padrão, depois de calibrado, para que este passe a apresentar indicações consistentes com os resultados apurados na calibração. Um peso padrão comercial pode, por exemplo, ser ajustado retirando-se ou acrescentando-se massa na sua câmara de ajuste, com base nas informações do certificado de calibração. Após o ajuste é necessário proceder a uma nova calibração.

Importante. A calibração (e eventual ajuste) é operação eminentemente técnica e voluntária. O detentor dos instrumentos ou medidas materializadas deve decidir sobre a necessidade e periodicidade de calibrá-los, quer em razão do seu processo de trabalho, quer para cumprir especificação do cliente ou de eventual exigência de sistema de gestão da qualidade.

Em resumo, a calibração não se confunde e não substitui a verificação metrológica, e vice versa. São procedimentos distintos que visam objetivos diversos. A calibração pertence ao escopo da metrologia geral, é voluntária e serve principalmente como diagnóstico. A verificação pertence ao escopo da metrologia legal, é obrigatória e serve para apurar se o sistema de medição está de acordo com as exigências legais. A primeira é um procedimento eminentemente técnico, enquanto a segunda é uma ação eminentemente fiscal.

Para acessar os conceitos citados aqui na sua íntegra, consulte o VIM – Vocabulário Internacional de Metrologia

Medindo Quantidade de Matéria – o mol

21 de outubro de 2019

O mol não é uma unidade de medir das mais populares. Ele não é intuitivo e costuma ser usado apenas nos laboratórios. Contudo, é uma das sete unidades de base do SI, e como tal merece toda a nossa atenção e respeito.

O mol, símbolo mol, é a unidade de medir quantidade de matéria. Um mol contém exatamente 6,022 140 76 x 1023 entidades elementares. Este número é o valor numérico fixo da constante de Avogadro, NA, quando expresso na unidade mol-1, o número de Avogadro. (Unidade de Base ratificada pela 26ª CGPM – 2018). 

A definição Implica a relação exata NA= 6,022 140 76×1023 mol−1. A inversão dessa relação fornece uma expressão exata para o mol em termos da definição da constante de Avogadro, NA:

1 mol = 6,022 140 76 × 1023/ NA

Assim, o mol passa a ser a quantidade de matéria, símbolo n, de um sistema que contém 6,022 140 76 × 1023 entidades elementares especificadas. Uma entidade elementar pode ser um átomo, uma molécula, um íon, um elétron ou qualquer outra partícula ou grupo especificado de partículas.

É interessante notar que a definição anterior do mol havia fixado o valor da massa molar do “carbono 12”,  M (12C), em exatamente 0,012 kg/mol (12 gramas por mol). Pela definição atual, M (12C) não é mais conhecido exatamente (característica agora atribuída ao número de Avogadro) e precisa ser obtido experimentalmente. Só para lembrar, massa molar é a quantidade, em gramas, de um mol de entidades elementares.

Os valores estão arredondados

Já a unidade unificada de massa atômica (ou apenas massa atômica), símbolo u, é unidade “em uso com o SI” e corresponde à fração de 1/12 da massa do átomo do carbono 12. Ora, a massa atômica do carbono 12 é, obviamente, 12 u, e a sua massa molar é cerca de 12 gramas. Então, a massa atômica de qualquer átomo, medida na unidade u, guarda relação numérica direta com a sua massa molar em gramas. Na tabela periódica a massa atômica de cada elemento químico é informada.

Os valores estão arredondados

O mol, como se vê, conecta o universo das entidades muito pequenas com as dimensões do nosso cotidiano. Um mol de água corresponde a aproximadamente 18 ml, mas embora esse volume seja pouco maior do que uma colher de sopa (15 ml), é perfeitamente manuseável num laboratório. É o mol que possibilita o cálculo das quantidades das substâncias que entram nas reações químicas, o famoso cálculo estequiométrico.

Medindo Corrente Elétrica – o ampere

14 de outubro de 2019

Eletricidade é algo com que lidamos diariamente. Porém, para medirmos a corrente elétrica é preciso lembrar alguns conceitos:

Eletricidade: é o conjunto de fenômenos relativos à carga elétrica, uma propriedade dos prótons (carga elétrica positiva) e nêutrons (sem carga), que ficam no núcleo do átomo, e dos elétrons (carga elétrica negativa), que ficam ao redor do núcleo.

Carga elétrica elementar : É o valor da carga de um próton ou um elétron. É a menor quantidade de carga encontrada na natureza, igual a 1,602 176 634 x 10-19 C (coulomb). Símbolo e.

Corrente elétrica: Elétrons estão sempre em movimento, e os metais têm muitos elétrons livres em movimento desordenado. Quando se cria uma diferença de potencial em razão de um campo elétrico, esses movimentos passam a ser ordenados no sentido oposto ao do vetor do campo (sentido convencional), criando a corrente elétrica, que é medida em amperes.

O ampere, símbolo A, é definido tomando-se o valor numérico fixo da carga elementar e como sendo 1,602 176 634 x 10-19 quando expressa na unidade C , a qual é igual  a A s, onde o segundo é definido em termos de ∆νCs (valor da frequência do césio). (Unidade de Base ratificada pela 26ª CGPM – 2018).

A definição anterior do ampere era baseada no valor exato da constante magnética μ0 e não no valor da carga elétrica elementar e. A nova definição fixa o valor exato da constante e de modo que μ0 passa a ser definido experimentalmente.

A nova definição implica a relação exata 1,602 176 634 x 10-19 A s. Ao inverter-se essa relação o ampere  passa a ser expresso em função das constantes e e ∆νCs , como segue:

1 A = (e/1,602 176 634 x 10-19 ) s-1

O efeito dessa definição é que um ampere é a corrente elétrica correspondente ao fluxo de 1 / (1,602 176 634 x 10-19) cargas elementares por segundo. Na prática do dia a dia a mudança é imperceptível, e o ampere continua sendo equivalente a um coulomb por segundo.

 

Medindo Temperatura – o kelvin

7 de outubro de 2019

Temperatura é uma grandeza que nos é bem familiar, e a nossa capacidade natural de perceber calor e frio é o nosso padrão de referência. Medir temperatura, entretanto, é um pouco mais complicado. Estamos habituados a medir temperatura em grau Celsius, unidade “em uso com o SI”. Porém, neste post, vamos tratar da unidade de base do SI para temperatura termodinâmica, o kelvin.

O kelvin, símbolo K, é definido tomando-se o valor numérico fixo da constante de Boltzmann k como sendo 1,380 649 x 10-23 quando expresso na unidade J K-1, a qual é igual a kg m2 s-2 K-1 onde o kilograma, o metro e o segundo são definidos em termos de h (constante de Plank), c (constante da velocidade da luz) e ∆νCs(valor da frequência do césio). (Unidade de Base ratificada pela 26ª CGPM – 2018).

Por esta definição  k = 1,380 649 × 10−23 kg m2 s − 2 K − 1 exatamente. A inversão dessa relação fornece uma expressão exata para o kelvin em termos das constantes definidoras k (constante de Boltzmann), h (constante de Planck), ΔνCs (variação do césio):

1 K = (1,380649/k) x 10-23 kg m2 s-2

A temperatura é proporcional à energia cinética média das moléculas de um sistema, de modo que quanto mais “agitadas” estão as moléculas, maior a sua energia térmica, e a constante de Boltzmann relaciona a energia (em joule) com a temperatura (em kelvin). Já vimos essa estratégia antes. Ao se atribuir um valor exato e fixo à constante, o referencial físico antes considerado deixa de ser exato e passa a ser definido experimentalmente. No caso, esse referencial é o ponto triplo da água, isso porque a definição anterior de kelvin havia fixado a temperatura do ponto triplo da água como, exatamente, 273,16 K.

Por conta disso pode-se expressar a temperatura termodinâmica em termos da sua diferença em relação ao ponto de fusão do gelo (273,15 K à pressão de 101,325 kPa). Essa diferença é chamada temperatura Celsius. Como a unidade grau Celsius (símbolo °C ) tem, por definição, magnitude igual à unidade kelvin, a conversão entre elas é imediata. Basta subtrair o valor numérico de 273,15 da temperatura expressa em kelvin para obter o equivalente em grau Celsius.

 

Metrologia em Revista ano III, nº 3 – Já na web…

1 de outubro de 2019

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Saiu a edição da Metrologia em Revista do terceiro trimestre de 2019, desta vez com uma matéria extensa sobre gastronomia. Bom apetite!

SP Gastronomia

26 de setembro de 2019

Já fizemos muitos posts sobre culinária aqui no blog, pois a metrologia está muito presente na cozinha. Este post, entretanto, é só para divulgar o festival SP Gastronomia. Deixamos para explorar melhor a relação entre a gastronomia e a metrologia na próxima edição da Metrologia em Revista ano III – número 3, a ser publicada na primeira semana de outubro. Veja mais informações sobre o festival no site do SP Gastronomia.

Dia da Árvore (ou Festa Anual das Árvores) e Equinócio de Primavera.

23 de setembro de 2019

O Dia da Árvore, ou Festa Anual das Árvores, conforme instituiu o Decreto Federal nº 55.795 de 1965, é comemorado aqui no Estado de São Paulo e demais estados das regiões sudeste, sul e centro-oeste, durante uma semana a começar no dia 21 de setembro. E os outros estados? Bem, o Decreto estabelece que para eles a Festa Anual das Árvores acontece na última semana de março.

Na verdade a escolha do nome ou da data é praticamente irrelevante. O que interessa, mesmo, é ter uma semana na qual as árvores possam ser lembradas, protegidas e disseminadas.

Por aqui a semana da Árvore coincide, muito propriamente, com o Equinócio de Primavera, que neste ano acontecerá às 4 h 50 min do dia 23 de setembro. Já falamos sobre equinócios e solstícios (e as questões metrológicas envolvidas) aqui no Almanaque. E também já falamos da metrologia voltada às árvores, ou seja, a dendrometria.

Em sendo assim, este post é apenas para marcar mais um equinócio de primavera e lembrar sobre a necessidade de proteger árvores, matas, florestas, cerrados, caatingas, bosques e tudo o mais…

 

Medindo Comprimento – o metro

16 de setembro de 2019

De todas as grandezas físicas, o comprimento é a que nos é a mais familiar, a mais intuitiva, e também a mais fácil de lidar. A unidade SI para medir comprimento é, como todo mundo sabe, o metro. Se compararmos a definição do metro com as definições das demais unidades de base do SI, veremos que ela é a mais amigável.

O metro é definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo. (Unidade de Base ratificada pela 17ª CGPM – 1983).

Simples, não é? Bem, nem tanto. Em primeiro lugar, deve-se notar que o metro passa a ser definido em função do tempo, cuja unidade, o segundo, estava definida desde 1967.

Por época da definição do metro (1983) a velocidade da luz no vácuo também já havia sido definida e estabelecida como sendo a constante c, cujo valor exato é c = 299 792 458 m s-¹ (metros por segundo).  A partir daí, bastou inverter essa relação. A expressão c = 299 792 458 m s-¹ passa a ser 1 m = (c/299 792 458) s. Assim, o metro pode ser expresso em função das constantes ∆νCs (que define o segundo) e c (velocidade da luz no vácuo).

Hoje, para realizar o metro em laboratório, são utilizados modernos lasers, relógios atômicos e interferômetros.

esquema para determinação de comprimento

O laser produz radiação eletromagnética (luz) monocromática (comprimento de onda bem definido), coerente (fótons do feixe de luz em fase) e colimada (feixe de ondas praticamente paralelas). Os lasers modernos são capazes de emitir luz em comprimentos de onda conhecidos com uma incerteza relativa próxima da do oscilador de césio, que é usado para realizar a unidade de tempo (segundo). O uso do laser permite a medição de comprimento ( l ), por interferometria, em função de um número b de comprimentos de onda ( λ ), como na equação: l = λ × b. Ou seja, o comprimento que se quer determinar é igual ao número de ondas cujo comprimento é conhecido.

O interferômetro é composto por espelhos e sensores, e baseia-se na interferência de dois feixes de luz provenientes da mesma fonte, no caso, o laser. Ao atravessar um divisor, o feixe é separado em dois, e cada um percorre um caminho diferente. Após a sua reflexão em espelhos colocados estrategicamente, os feixes são recombinados no divisor, gerando um padrão de interferência composto por franjas regularmente espaçadas. Contando o número de franjas é possível determinar a distância percorrida pelo espelho móvel. O valor de referência é dado pelo comprimento de onda (ou frequência) do feixe de luz do laser.