A Faixa de Moebius.

A metrologia é a ciência das medições. Cabe à metrologia, entre outas coisas, desenvolver métodos que possibilitem quantificar as propriedades mensuráveis de um objeto (grandezas físicas), como por exemplo, as suas dimensões. A geometria é um dos meios mais antigos e práticos para fazer isso. A obtenção da área das figuras a seguir é um bom exemplo:

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Existem alguns objetos, entretanto, que são verdadeiros desafios geométricos, e o mais famoso deles é a intrigante faixa (ou fita, banda, tira) de Moebius (ou Möbius) . Veja o desenho abaixo:

Para criar uma faixa de Moebius basta dar meia volta (180°) em uma das pontas de uma fita ( figura 1) e depois colar mantendo a torção (figura 2). Criamos assim um objeto muito especial, cuja propriedade mais evidente é a de ter apenas um lado! Por isso é possível percorrer toda a sua superfície sem que seja preciso “pular” para o outro lado. Veja:

Além de ter uma única superfície, a faixa tem uma única borda! A matemática chama esse tipo de objeto de “não orientado”. Por isso, e ao contrário da área do polígono, medir a área da faixa de Moebius é uma coisa complicada que exige conhecimentos matemáticos muito sofisticados.

Mas será que é mesmo tão complicado? Afinal, se a fita original era, por exemplo, um retângulo de 20 cm de comprimento e 2 cm de largura, suas dimensões não vão mudar  apenas porque alteramos a sua orientação espacial (ou, no caso, não orientação…)!

Bem, mais ou menos. De fato, se conhecemos a fita original com a qual construímos a faixa de Moebius, então podemos dizer que conhecemos as suas dimensões. No exemplo dado, uma fita original  de 20 cm x 2 cm determinaria uma faixa de Moebius com 40 cm de comprimento e 80 cm² de área. Do mesmo modo, se pudermos “cortar” uma faixa de Moebius convertendo-a num objeto mais simples (como um retângulo) podemos medi-la facilmente. Só que ao fazer isso não mais estaremos lidando com a faixa de Moebius!

Mas afinal, porque alguém iria se dar ao trabalho de medir essa faixa a não ser por pura (e talvez duvidosa) diversão? Acontece que a faixa de Moebius tem múltiplas aplicações:  Arquitetura, escultura, música, joalheria, moda, semiologia… Talvez a mais conhecida aplicação do seu conceito seja o símbolo abaixo. Você o conhece?

Note: O triângulo é uma fita de Moebius com uma volta e meia (540°).

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