A Sequência Fibonacci

Leonardo de Pisa, um matemático também conhecido como Fibonacci,  publicou em 1202 o seu famoso Liber Abaci (O Livro do Cálculo). Esse livro ajudou a introduzir e a difundir na Europa, nada mais, nada menos, do que os algarismos indo-arábicos e a notação posicional (na qual o valor de cada algarismo depende da sua posição relativa na composição do número) e, ainda, o uso do zero.

Tudo isso Fibonacci  aprendeu com os árabes quando viveu no Norte de África. É interessante notar que os algarismos arábicos só se popularizaram na Europa em meados do século XV. Ou seja, até recentemente (menos de 600 anos) os europeus ainda faziam cálculos utilizando algarismos romanos. Dá para imaginar? Esse fato, por si só, já justifica que se faça um post sobre Fibonacci neste blog especializado em metrologia.

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A sequência Fibonacci é uma sucessão recursiva de números inteiros que começa por 0 e 1, e onde cada número subsequente é igual à soma dos dois números anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…). Ela foi utilizada na solução de um problema sobre reprodução de coelhos mencionada no Liber Abaci. Em vez de coelhos, preferimos representar o crescimento de uma árvore. Parece uma coisa singela, mas do ponto de vista matemático não é tão simples. Por exemplo, se construirmos quadrados com lados cujo tamanho respeite a sequência, o resultado será esse:

Assim como os números da sequência Fibonacci, a espiral desenhada a partir dos quadrados é recorrente na natureza, e pode ser identificada na disposição das pétalas de algumas flores, caracóis, nuvens de tempestade e até galáxias. Outro aspecto muito interessante da sequência Fibonacci é que, quando um número da sequência é dividido pelo número imediatamente anterior, a resultante se aproxima do número φ (pronuncia-se fi), a famosa constante algébrica conhecida como razão áurea, cujo valor arredondado é 1,618. Quanto maiores forem os números, mais o resultado se aproxima do número φ. No post sobre o Dia Mundial do Desenhista, que homenageia outro Leonardo genial, o Da Vinci, explicamos isso melhor. Confira.

Dia Mundial do Desenhista

O Dia Mundial do Desenhista é comemorado em 15 de abril. A data não é casual. É o aniversário de nascimento de  Leonardo da Vinci! Ninguém duvida da genialidade de Leonardo! Seus interesses eram incrivelmente diversos.  Transitava com desenvoltura pela  pintura, arquitetura, anatomia, hidráulica, teatro, máquinas de guerra et cetera.

Se Leonardo da Vinci  era bom em tanta coisa, e não apenas em desenho, porque foi escolhido como patrono dos desenhistas? E por que lembrar essa data aqui no Almanaque? Muito simples: O desenho sempre foi a base para as atividades do Mestre da Vinci. Todas as suas inúmeras realizações, teóricas e práticas, utilizavam o desenho como suporte, como esboço, como projeto…  Além disso, quem faz desenho de projeto precisa medir, e quem trabalha com medição precisa do desenho!

Um dos desenhos mais famosos de Leonardo da Vinci é o Homem Vitruviano. Veremos que, aqui, o  desenho não é um simples fundamento.

Neste desenho Leonardo representa as proporções anatômicas definidas por Vitrúvio ( Marcus Vitruvius Pollio), arquiteto romano do século I A.C. 

O homem está inscrito num círculo (cujo centro é o seu umbigo) e num quadrado. Leonardo da Vinci foi o primeiro a representar adequadamente o homem vitruviano com base na razão áurea.

A razão áurea é uma constante algébrica, real e  irracional, representada pela letra grega φ (Phi)  em homenagem ao escultor e arquiteto grego Fídias, que a utilizou na construção do Partenon. O número áureo  φ, que arredondado vale  1,618, tem muitos nomes: Divina proporção, divina seção, divisão de ouro, secção áurea… O geômetra Euclides o chamava  de média e extrema razão. O número φ  está presente em muitos processos naturais, e muita gente o considerava místico. Veja a seguir como aplicar a razão áurea a um segmento de reta.

Começamos por inscrever o segmento de reta ab numa circunferência. Esse segmento será o cateto maior do triângulo retângulo abc, cujo cateto menor ca tem a metade do seu comprimento. Se dividirmos o comprimento de eb pelo comprimento de ae, obteremos o número áureo φ 1,618.Agora, vamos sobrepor a figura acima ao desenho do homem vitruviano. A divisão proporcional da altura do homem não é a única aplicação da razão áurea. Vemos a mesma proporção nas pernas, braços, tronco, cabeça…

De fato, o homem vitruviano é a representação gráfica da divina proporção aplicada à anatomia humana, conforme defendia Vitrúvio. Em outras palavras, é um desenho que não se limita a ser um suporte, uma base, um “croquis”, mas também é uma ilustração, uma explicação, uma demonstração geométrica,  uma obra de arte e um ícone admirado em todo o mundo! Assim é o desenho, a mais versátil das maneiras de representar.  Parabéns, herdeiros de Leonardo da Vinci!

Obs.:  Este post se refere à razão áurea muito superficialmente, pois o objetivo aqui é falar sobre o desenho. Entretanto, vale a pena pesquisar o tema.